[적콩무] 유레카! 아르키메데스

[적콩무] 12화. 유레카! 아르키메데스 / 원넓이를 구해볼까?

들어가며

이번 화는 아르키메데스에 대한 설명이 있었습니다. 아르키메데스라 하면 어릴 때 왕관이 어쩌고 목욕탕에서 어쩌고 하다가 유레카! 를 외쳤다는 이야기만을 알고 있습니다. 사실 아르키메데스 라는 이름보다는 유레카 라는 단어가 더 낯이 익은 분들이 많을 겁니다. 저도 아르키메데스가 과학자인 줄만 알았는데 적콩무를 듣고나니 엄청난 수학자임을 알게 되었습니다. 적콩무에서 자세히 알려준 아르키메데스에 대해 알아봅시다.

아르키메데스

적콩무의 송쌤은 아르키메데스를 가장 위대한 수학자 3인 중 한명으로 뽑습니다. 과학자가 아닌 수학자로 뽑히는 이유를 송쌤께서 자세히 알려주십니다.

아르키메데스는 기원전 약 287년에 이탈리아의 시칠리아섬 시라쿠사에서 태어났습니다. 그는 귀족 집안에서 태어나 먹고 살 걱정하지 않고 공부를 하게 됩니다. 그는 알렉산드리아 도서관에서 유클리드의 영향을 받아 수학 공부를 시작하며 에라토스테네스의 지도를 받게 됩니다. 수학 공부 후, 다시 시라쿠사로 돌아온 아르키메데스는 계속하여 수학을 공부하게 됩니다.

유레카의 유래

시라쿠사의 왕 히에론 왕은 자신의 왕관을 100% 순금으로 만들 것을 세공사에게 명하였습니다. 금으로 된 왕관을 받은 히에론 왕은 그 무게를 재어 보았고, 그 왕관의 무게는 자신이 준 순금과 무게가 같아 왕은 세공사를 믿게 되었습니다. 그런데 사람들 사이에서는 그 왕관이 순금이 아니라 은이 섞인 것이라는 소문이 퍼지게 됩니다. 왕은 아르키메데스를 불러 왕관이 순금으로 이루어진 것이 맞는 지 확인해줄 것을 요청합니다.

아르키메데스는 몇일을 고민을 하다가 목욕탕을 가게 됩니다. 목욕탕에 들어갈 때 물이 넘치는 것을 보고 아르키메데스는 큰 깨달음을 얻게 됩니다. 그때 '유레카! 유레카!' 외치면서 옷도 입지 않은 채로 집으로 뛰어갑니다. 이때 알아낸 것이 목욕탕에 들어간 부피만큼 물이 넘치게 된다는 것입니다. 이를 토대로 왕관의 무게와 똑같은 무게의 순금과 순은을 준비하여 물에 각각 넣어서 그 넘치는 양을 비교하여 왕관이 순금이 아닌 것을 알아냅니다.

아르키메데스의 발명

당시 고대 그리스는 실용적인 학문을 추구하는 것에 관심이 없었습니다. 귀족 사회에서 추상적인 개념에 대해 연구하고 학문했기 때문입니다. 그러나 아르키메데스는 실용적인 발명에 관심이 많았는데, 그가 발명한 것이 바로 '양수기'입니다. 이는 최근까지도 많이 사용되는 것인데요, 한쪽 끝에 손잡이가 있고 긴 원통에 회오리감자처럼 생긴 철판이 있어서 물을 조금씩 긷게 되는 것입니다.

또, 그는 도르래, 지렛대를 발명합니다. 히에론 왕이 백사장의 배를 바다에 띄우라고 명하자 지렛대를 응용한 도르래를 이용하여 손쉽게 해냈다고 합니다. 그는 "내게 적절한 작용점과 충분한 길이의 지렛대를 준다면 지구라도 들어보겠다."고 말하기도 합니다.

수학자로서의 아르키메데스

그는 원주율 파이(π)를 굉장히 정확하게 계산해냅니다. 원 안에 정사각형을 내접시키고, 원 밖에 정사각형을 외접시킵니다. 그러면 원의 둘레는 내접하는 정사각형의 둘레보다는 크고, 외접하는 정사각형의 둘레보다는 작게 됩니다. 아르키메데스는 이를 정 96각형까지 그려서 원주율의 크기가 71분의 223보다는 크고, 7분의 22보다 작다는 것을 알아냈다고 합니다. '샌드위치 정리'를 이용하여 크기를 알아낸 것입니다.

또한, 원의 넓이, 구의 넓이, 구의 부피를 계산하는 법을 발견하고, 원기둥과 그에 내접하는 구의 부피 비가 3:2가 성립함을 알아냅니다. 아르키메데스는 이것을 발견한 것이 너무 기뻐 자신의 묘비에 남겨달라고 말했다고 합니다. 이 뿐만 아니라, 각 도형의 무게 중심과 포물선, 타원, 쌍곡선에 관한 성질을 연구하였습니다.

무한과 극한을 이용한 적분

아르키메데스는 기원전에 무한과 극한의 개념을 도입하여 곡선의 아래 부분 넓이를 구하는 방법에 대해 생각해냅니다. 위에서 원주율 파이를 구하는 과정에서도 그는 정사각형에서 정 96각형까지 세분화하면서 거의 원에 가까운 모양으로써 둘레를 구해 원주율에 접근해 가는데, 이와 유사하게 적분의 개념을 생각하였습니다. 곡선의 아래부분의 넓이를 아주 얇은 직사각형의 넓이의 합으로 생각한 것인데, 오늘날의 적분과도 그 개념이 유사합니다. 기원전에 무한과 극한을 이용하여 현대 적분의 원형을 만든 것입니다.

전쟁과 아르키메데스

시라쿠사는 로마군과 전쟁을 하게 되는데, 이때 아르키메데스는 70세의 나이로 여러가지 무기를 개발하게 됩니다. 대형 청동거울을 포물선 모양으로 연결시켜 빛을 모아 로마군의 배를 태웠다는 이야기가 전해 내려옵니다. 뿐만 아니라, 지렛대를 이용하여 200m 이상의 사거리를 가지는 투석기를 만들었고, 한번에 여러 발의 화살을 다방향으로 발사할 수 있는 다연발 활도 개발했다고 합니다.

하지만 결국 로마군은 시라쿠사 함락에 성공하게 됩니다. 아르키메데스는 이 사실도 모른 채 기하학 문제를 푸는 데 온 정신을 집중하고 있었습니다. 한 로마 군인이 그에게 따라올 것을 명하였으나, 아르키메데스는 이 기하학 문제를 풀기 전까진 한발짝도 움직일 수 없다며 이를 거부하였고, 결국 그에게 목숨을 잃게 됩니다.

마치며

아르키메데스의 업적에 대해 알아보았습니다. 유레카! 로만 유명한 그이지만, 정말 엄청난 업적들이 있는 것을 알았습니다. 기하학, 지렛대, 도르래 뿐만 아니라, 거울 반사, 유체정역학, 천문학 분야까지 연구를 하였습니다. 적분의 개념에 접근한 것은 정말 놀랍습니다. 뉴턴과 라이프니츠만큼의 미분, 적분에 대해 알아냈다면 지금 우리의 과학은 얼만큼 더 발전할 수 있었을지 궁금합니다.  끝.

[적콩무] 12화. 유레카! 아르키메데스 / 원넓이를 구해볼까?